什么是微分
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参考视频
预备：有限增量公式
根据导数的定义，函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处求导，写成极限的形式为： $$ f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} (式1) $$
因为上式左右相等，故而有： $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_{0}) = 0 (式2) $$
又根据“ 极限之差等于差之极限 ”，所以式2中对 $\Delta x$ 的求极限的操作等价于： $$ \lim_{\Delta x \to 0} [\frac{f(x_{0}+\Delta x )-f(x_{0})}{\Delta x} -f'(x_{0} )]=0(式3) $$
又根据极限之定义，当 $\Delta x\to 0$ 时，极限值为0，则称求极限的表达式为无穷小量。用 $\varepsilon$ 表示，所以式3有： $$ \frac{f(x_{0}+\Delta x )-f(x_{0})}{\Delta x} -f'(x_{0} )=\varepsilon $$
式3两端分别乘以 $\Delta x\ $ ，得到： $$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot \Delta x+\Delta x\cdot \varepsilon (式4) $$
式4即是所谓的“有限增量公式”。
微分的定义
设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 有定义，且 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的微分定义如下: $$ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = A\cdot\Delta x+o(\Delta x)(式5) $$
